کران هایی برای مجموع و حاصل ضرب مقادیر ویژه لاپلاسین و لاپلاسین بدون علامت گراف ها

فرض کنید g گرافی n رأسی باشد. مقادیر ویژ? لاپلاسین بدون علامت و لاپلاسین g که به صورت نزولی مرتب شده اند را به ترتیب با q_1 (g)???q_n (g)?0 و ?_1 (g)????_(n-1) (g)??_n (g)=0, نمایش می¬دهیم. حدسی در مورد مقادیر ویژ? لاپلاسین گراف¬ها بیان می کند که ?_1 (g)-?_(n-1) (g)?n-1 یا به طورمعادل ?_1 (g)+?_1 (¯g)?2n-1 که در آن ¯g گراف مکمل g است. در این رساله، این حدس را برای گراف¬های دوبخشی ثابت می¬کنیم. به¬علاوه برای هر گراف دوبخشی g نشان می¬دهیم ?_1 (g)?_1 (¯g)?n(n-1)) . توجه کنید که برای گراف¬های دوبخشی مقادیر ویژ? لاپلاسین و مقادیر ویژ? لاپلاسین بدون علامت یکسان هستند. آچیچه و هنسن حدس زده¬اند که q_1 (g)+q_1 (¯g)?3n-4 و) . q_1 (g)q_1 (¯g)?2n(n-2) حدس اول را ثابت و حدس دوم را با ارائه خانواده¬ای از گراف¬های hn که برای آن¬ها q_1 (h_n)q_1 (¯(h_n )) از مرتب? 2.15n^2+o(n) است، رد می¬کنیم. اگر تعداد یال¬های g را با e(g) نشان دهیم و s_k (g)=q_1 (g)+?+q_k (g) ، حدس می¬زنیم که s_k (g)?e(g)+((k+1)¦2) برای k=1,…,n. این حدس را به¬ازای k=2 برای هر گراف n رأسی g و به¬ازای هر k برای تمامی گراف¬های منتظم ثابت می¬کنیم. حدس فوق مشابه حدسی از براور درمورد مقادیر ویژ? لاپلاسین است. در میان سایر نتایج، دو حدس دیگر در مورد مجموع توان¬های مقادیر ویژ? لاپلاسین بدون علامت گراف¬ها نیز رد شده-اند.